Questão 53 (Prova 39 / Petrobras 2006)

2008

Sep

Questão 53 (Prova 39 / Petrobras 2006)

Posted by Rocha under Concursando tagged álgebra, concurso, engenharia química, engenheiro de processamento, identidade logaritmica, petrobras, termodinâmica | No Comments

Essa é a questão de número 53 do concurso da PETROBRAS que ocorreu no ano de 2006. A prova (número 39) é para o cargo de engenheiro de processamento e está disponível no sítio da CESGRANRIO.

A princípio, eu achei um pouco difícil a questão. Se eu fizesse o concurso na época, com certeza a teria pulado .

Depois, observando-a bem, pude perceber que não é tão difícil assim, pois ela requer apenas conhecimentos básicos de matemática (álgebra e identidade de logaritmos) e termodinâmica (que a soma das frações molares ou mássicas é igual a 1).

A seguir, a resolução.

Resolução >>>>>

A questão forneceu uma informação importante: o sistema é binário (a única informação conceitual de termodinâmica exigida na questão 53).

Como conseqüência disso (sistema binário)

$x_1 + x_2 = 1$ (1)
$x_2 = 1 - x_1$ (2)

O enunciado da questão citou o valor de A igual a 2 e, ainda, expôs três equações:

$ln left( {gamma _1 } right) = A cdot x_2 ^2$

$ln left( {gamma _2 } right) = A cdot x_1 ^2$

$ln left( {frac{{gamma _1 }}{{gamma _2 }}} right) = 0,4$

Existe uma identidade de logaritmos que mata a questão:

$ln left( {frac{b}{c}} right) = ln left( b right) - ln left( c right)$

Então, vamos usá-la aqui? Veja:

$$ln left( {frac{{gamma _1 }}{{gamma _2 }}} right) = ln left( {gamma _1 } right) - ln left( {gamma _2 } right)$

Logo,

$ln left( {gamma _1 } right) - ln left( {gamma _2 } right) = 0,4 \ end{array}$

Ora, podemos substituir o valor dos logaritmos pelos fornecidos no enunciado, hã?

$A cdot x_2 ^2 - A cdot x_1 ^2 = 0,4$

O valor de A, como dito anteriormente, é igual a 2. O restante da resolução da questão, como pode ser visto, é álgebra, lembrando que em sistemas binários utilizam-se as equações (1) e (2).

$begin{array}{l} A cdot x_2 ^2 - A cdot x_1 ^2 = 0,4 \ A cdot left( {1 - x_1 } right)^2 - A cdot x_1 ^2 = 0,4 \ A = 2 \ left( {1 - x_1 } right)^2 - x_1 ^2 = 0,2 \ 1 - 2x_1 + x_1 ^2 - x_1 ^2 = 0,2 \ 1 - 0,2 = 2x_1 \ 0,8 = 2x_1 \ end{array}$