Questão 38 (Prova 45 / Petrobras 2006) | Blog Chem-e

Monday, February 9th, 2009 (8:23:95)

Questão 38 (Prova 45 / Petrobras 2006)

Vamos resolver a questão de número 38 do concurso da PETROBRAS que ocorreu no ano de 2006. A prova (número 45) foi para o cargo de químico de petróleo júnior e está disponível no sítio da CESGRANRIO.

A seguir, o enunciado e a resolução da questão.

Resolução >>>>>

Como pode ser visto, essa questão é muito simples de se resolver. Ela exige somente um conceito de derivação, que é a regra do quociente. Este conteúdo é visto em Cálculo Diferencial. Para isso, temos aqui uma literatura recomendada: James Stewart (Cálculo Vol. 1).

A regra do quociente é dada da seguinte forma:

$f'(x) = \frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{h(x)}}{{g(x)}}} \right) = \frac{{h'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot h(x)}}{{g(x)^2 }}$

A função f(x) foi dada no enunciado.

$f(x) = \frac{{h(x)}}{{g(x)}} = \frac{{x^2 }}{{1 + x}}$

Desse modo,

$h(x) = x^2$
$g(x) = 1 + x$

Vamos calcular individualmente a derivada das funções h(x) e g(x):

$h'(x) = 2x$
$g'(x) = 1$

Então f’(x) é:

$f'(x) = \frac{{h'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot h(x)}}{{g(x)^2 }}$

Substituindo as funções h(x) e g(x) e suas respectivas derivadas, temos:

$f'(x) = \frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{x^2 }}{{1 + x}}} \right) = \frac{{2x \cdot (1 + x) - 1 \cdot x^2 }}{{(1 + x)^2 }}$

$f'(x) = \frac{{2x + 2x^2 - x^2 }}{{(1 + x)^2 }} = \frac{{2x + x^2 }}{{(1 + x)^2 }}$

$f'(x) = \frac{{2x + x^2 }}{{(1 + x)^2 }}$

Substituindo o valor de x por 1, temos:

$f'(1) = \frac{{2 + 1}}{{(1 + 1)^2 }} = \frac{3}{4}$

A resposta é a LETRA C.

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