Questão 37 (Prova 45 / Petrobras 2006)

2009

Jan

Questão 37 (Prova 45 / Petrobras 2006)

Posted by Rocha under Concursando tagged cargo, concurso, integração por partes, integral imprópria, petrobras, prova, prova 45, químico de petróleo | 1 Comment

Essa é a questão de número 37 do concurso da PETROBRAS que ocorreu no ano de 2006. A prova (número 45) foi para o cargo de químico de petróleo júnior e está disponível no sítio da CESGRANRIO.

A seguir, a resolução da questão.

Resolução >>>>>

É preciso saber, primeiramente, alguns conceitos fundamentais de cálculo integral. O primeiro deles é o de integral imprópria. O segundo é o entendimento do método de integração por partes. Para isso, temos aqui uma literatura recomendada: James Stewart (Cálculo Vol. 1 e Vol. 2).

Quando temos em um dos limites da integral um valor indeterminado (infinito), deparamos com uma integral imprópria. Precisamos verificar se essa integral imprópria converge dentro de um limite estabelecido, conforme a descrição a seguir.

$intlimits_0^infty {x cdot e^{ - x} dx} = mathop {lim }limits_{t to infty } intlimits_0^t {x cdot e^{ - x} dx}$

Ainda, é preciso recorrer à técnica de integração por partes. Só se resolve a função $x cdot e^{ - x}$ por partes. Recorremos, então, àquela fórmula clássica da técnica de integração por partes:

$int udv = uv - int v du$

É preciso, agora, substituir as variáveis da função dentro da integral e determiná-las por partes. Façamos o u igual a x e, conseqüentemente:

$begin{array}{l} u = x du = dx dv = e^{ - x} dx v = - e^{ - x} end{array}$

Agora, basta substituir os valores de u e v e resolver a integral:

$mathop {lim }limits_{t to infty } intlimits_0^t {x cdot e^{ - x} dx} = mathop {lim }limits_{t to infty } left[ {left( {x cdot left( { - e^{ - x} } right)} right)_0^t - intlimits_0^t {left( { - e^{ - x} } right)dx} } right]$

$mathop {lim }limits_{t to infty } intlimits_0^t {x cdot e^{ - x} dx} = mathop {lim }limits_{t to infty } left[ { - left( {x cdot e^{ - x} } right)_0^t + intlimits_0^t {e^{ - x} dx} } right]$

$mathop {lim }limits_{t to infty } intlimits_0^t {x cdot e^{ - x} dx} = mathop {lim }limits_{t to infty } left[ { - left( {x cdot e^{ - x} } right) - e^{ - x} } right]_0^t$

Sabe-se que:

$e^{ - x}=frac{1}{e^t }$

O limite de 1 sobre infinito tende a zero. Resolvendo o limite estabelecido, temos:

$mathop {lim }limits_{t to infty } intlimits_0^t {x cdot e^{ - x} dx} = mathop {lim }limits_{t to infty } left[ {left( { - left( {t cdot frac{1}{{e^t }}} right) - frac{1}{{e^t }}} right) - left( {0 - 1} right)} right]_0^t$