Questão 29 (Prova 56 / Petrobras 2008)

2008

Sep

Questão 29 (Prova 56 / Petrobras 2008)

Posted by Rocha under Concursando tagged 2008, cálculo, cálculo diferencial, concurso, petrobras, petrobras 2008, químico de petróleo jr, taxas relacionadas, teorema de pitágoras | No Comments

Essa é a questão de número 29 do concurso da PETROBRAS que ocorreu no ano de 2008. A prova (número 56) é para o cargo de químico de petróleo jr e está disponível no sítio da CESGRANRIO.

Para resolver a questão, é necessário entender um pouco sobre taxas relacionadas (Cálculo Diferencial) e saber de cor o antigo teorema de Pitágoras (Matemática Básica) que, segundo o sítio da Wikipédia sob licença da GNU Free Documentation License, “é provavelmente o mais célebre dos teoremas da matemática”.

Eu tive a oportunidade de fazer essa prova. Essa questão valia 1,3 pontos. E o caro amigo concursando sabe que 1,3 pontos vale muito. Ainda mais para o cargo de químico de petróleo na PETROBRAS, que é bem concorrido. Há no livro de Cálculo com Geometria Analítica (SWOKOWSKI, Earl William) um exercício parecido.

Vamos, portanto, para a resolução da questão.

Resolução >>>>>

Em primeiro lugar, o enunciado forneceu informações importantes para a resolução da questão: as velocidades, presentes na figura e a distância de cada “veículo náutico” (muito engraçada essa terminologia) até o ponto P. Vamos aproveitar aqui e chamar a distância do “veículo náutico A” de a e a distância do “veículo náutico B” de b.

Logo:

$a = 0,8$

$b = 0,6$

Sabe-se que, em triângulos retângulos (como mostra a figura no enunciado da questão), aplica-se o teorema de Pitágoras, pois “o quadrado da hipotenusa (c) é igual à soma dos quadrados dos catetos (a e b)”.

$c^2 = a^2 + b^2$

Dá pra calcular, portanto, a distância entre A e B no instante t apresentado no enunciado, que é c:

$c^2 = left( {0,8} right)^2 + left( {0,6} right)^2 = 0,64 + 0,36$

O valor de c é igual a 1.

$c = 1$

Feito isso, é necessário usufruir novamente do “célebre” teorema de Pitágoras e diferenciar implicitamente cada variável (a, b e c) em função do tempo. Desse modo, temos três taxas relacionadas e duas delas representam as velocidades de cada “veículo náutico” (derivada da posição em relação ao tempo). Estas, inclusive, foram fornecidas no enunciado:

$frac{{da}}{{dt}} = 3$
$frac{{db}}{{dt}} = 4$

E queremos saber a que taxa (ou velocidade) esses barcos se aproximam:

$frac{{dc}}{{dt}} = ??$

Aplicando a diferenciação implícita no teorema de Pitágoras para as variáveis a, b e c em função do tempo:

$2 cdot c cdot frac{{dc}}{{dt}} = 2 cdot a cdot frac{{da}}{{dt}} + 2 cdot b cdot frac{{db}}{{dt}}$

Substituindo os valores do enunciado na equação e considerando, ainda, o valor de c calculado a partir do teorema de Pitágoras, temos o resultado final:

$2 cdot 1 cdot frac{{dc}}{{dt}} = 2 cdot 0,8 cdot 3 + 2 cdot 0,6 cdot 4$